Levy Mises理论的思考

发布于：2013-07-29 | 分类：plasticity theory

增量理论指的是用应变增量描述本构关系，又称为流动理论。本构关系包括三部分：本构方程、屈服条件和硬化条件。

Levy-Mises理论是塑性成形增量理论之一，其基本假设如下：

  • 刚塑性材料
  • Mises屈服准则
  • 圣维南假设：加载瞬时，应力主轴与应变增量主轴重合
  • 体积不变条件

推导过程

在圣维南假设的基础上，假设塑性应变增量的各个分量与相应偏应力分量成比例

d\varepsilon_{ij}^{p} = d\lambda\,{\sigma_{ij}}'

根据等效塑性应变增量d{\bar\varepsilon}_{ij}^{p}的定义式及体积不变条件得到

d{\bar\varepsilon}_{ij}^{p} = \sqrt{\frac{2}{3}\,d{\varepsilon'}_{ij}^{p}\,d{\varepsilon'}_{ij}^{p}} = \sqrt{\frac{2}{3}\,d{\varepsilon}_{ij}^{p}\,d{\varepsilon}_{ij}^{p}}

于是等效应变

\begin{align*} \bar\sigma &= \sqrt{\dfrac{3}{2}\,{\sigma_{ij}}'\,{\sigma_{ij}}'} = \sqrt{\dfrac{3}{2}\,\dfrac{d\varepsilon_{ij}^{p}}{d\lambda} \, \dfrac{d\varepsilon_{ij}^{p}}{d\lambda}} \\\ &= \dfrac{1}{d\lambda}\,\sqrt{\dfrac{3}{2}\,d\varepsilon_{ij}^{p} \, d\varepsilon_{ij}^{p}} \\\ &= \dfrac{3}{2}\,\dfrac{1}{d\lambda}\,\sqrt{\dfrac{2}{3}\,d\varepsilon_{ij}^{p} \, d\varepsilon_{ij}^{p}} \\\ &= \dfrac{3}{2}\,\dfrac{1}{d\lambda}\,d{\bar\varepsilon}_{ij}^{p} \end{align*}

最后，根据Mises屈服条件\bar\sigma = \sigma_s得到

d\lambda = \dfrac{3\,d{\bar\varepsilon}_{ij}^{p}}{2\,\bar\sigma} = \dfrac{3\,d{\bar\varepsilon}_{ij}^{p}}{2\,\sigma_s}

理想刚塑性假设是否必要？

机械工业出版社的《材料成型原理》等资料在Livey-Mises理论的假设条件中都提到了理想刚塑性假设，那么理想刚塑性条件是必须的么？

理想刚塑性包含两层意思：

  • 材料变形特点为刚塑性，忽略材料的弹性变形，始终只有塑性应变
  • 硬化模式为理想模式，即一旦屈服后流动应力不再增加

第一点是必须的，因为Livey-Mises理论确实没有考虑弹性变形；而第二点并没有涉及，也就是说，无论材料是何种硬化方式，本理论都是适用的。

Mises屈服准则的假设条件是否必要？

从形式上看，前面推导过程中只是最后一步根据Mises屈服准则代入了\bar\sigma=\sigma_s，那么即便去除此条件，不是依然可以得到d\lambda的表达式d\lambda = \dfrac{3\,d{\bar\varepsilon}_{ij}^{p}}{2\,\bar\sigma}么？

那么，这个假设条件还是必要的么？

实际上，我们常见的等效应力只是Mises等效应力习惯上的简称。在不同的理论框架下，等效应力有不同的表达式。正是在Mises等效应力的定义下，才表现为：

\bar\sigma = f(\sigma'_{ij}) = \sqrt{\dfrac{3}{2}\,{\sigma_{ij}}'\,{\sigma_{ij}}'}

显然前面的推导过程是基于上式的，因此Mises屈服准则是Levy-Mises理论必须的假设条件之一。

Mises屈服准则不仅给出了\bar\sigma=\sigma_s，还给出了Mises等效应力\bar\sigma的表达式。

屈服准则与本构方程的关联

进一步可以联想到屈服准则与本构方程是相互关联的，二者相互适应。以Livey-Mises理论为例，从塑性势的角度也可以推导出Livey-Mises理论所包含的本构方程

将以应力张量第二不变量描述的Mises屈服准则

f(\sigma'_{ij}) = {J'}_2-\frac{1}{3}\,\sigma_s^2=0

代入塑性势理论

d{\varepsilon'}_{ij}^{p} = d\lambda\,\frac{\partial\,f}{\partial\,{\sigma_{ij}}'}

得到

d{\varepsilon'}_{ij}^{p} = d\lambda\,\frac{\partial\left({J'}_2-\frac{1}{3}\,\sigma_s^2\right)}{\partial\,{\sigma_{ij}}'} = d\lambda\,\frac{\partial\left(\frac{1}{3}\,{\bar\sigma}^2\right)}{\partial\,{\sigma_{ij}}'} = d\lambda\,{\sigma'}_{ij}

即得到与Livey-Mises理论同样的表达式。

由此可以体会：

本构方程描述的是物体的变形特性，具有普适意义；而一旦具体化其表达式（通常含有等效应力这个自变量），则与依赖于等效应力定义式的屈服准则有了关联。

总结

  • Livey-Mises理论的假设中：理想硬化条件不是必要的，Mises屈服准则是必须的。
  • 本构方程与屈服条件因为等效应力的定义而统一于某种关系，例如能量原理（塑性势）